Permiso de trabajo cuando ya se tiene tarjeta de residencia en Hungría

Hola!!!   :) Mi nombre es Mónica, soy de El Salvador y estoy viviendo en Budapest desde hace unos meses. Procuré obtener empleo antes de hacer cualquier trámite en migración, y de hecho obtuve algunas entrevistas, sin embargo el detalle siempre fue que aún no tenía permiso de trabajo y todos decían necesitar a alguien que empezara de inmediato y no podían esperar los 75-90 días que tardaría mi permiso. Debido a esto y para que no se vencieran mis 90 días permitidos acá, inicié mi proceso para obtener el permiso de residencia acá, desde el primer momento expliqué que mis razones eran aprender el idioma y trabajar, ahí en la oficina de migración me orientaron que por no tener aún el empleo pero tener la intención de hacerlo, debía aplicar por la opción de “Residence Permit for Other Purposes” y de hecho así lo hice. Esta semana recibí mi permiso de residencia, pero para obtener el permiso de trabajo, me dijeron que debo obtener primero un contrato laboral.  Entonces quisiera saber si al obtener un contrato, debo esperar nuevamente los 75-90 días por un nuevo proceso para obtener el permiso de trabajo o solamente es cuestión de presentar el contrato para que me autoricen el permiso de trabajo????
Y de paso, no sé si alguien por acá podría orientarme en relación a que si con mi permiso de residencia puedo salir de acá de Hungría hacia otros países que no sean de la UE y volver a entrar acá sin problema???
De antemano, muchas gracias por tomarse el tiempo de leer mis dudas. Saludos!!!!

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